Matemàtiques II
Guía completa de las 10 unidades didácticas de 2n de Batxillerat, con teoría, métodos paso a paso, calculadoras interactivas, autoevaluación y explicaciones en Minecraft.
Cómo se evalúa la asignatura
El 80% se juega en las pruebas escritas, y no solo por el resultado: el criterio pide obtener todas las soluciones, describir el proceso y demostrar su validez. Un resultado correcto sin justificar pierde puntos; un procedimiento bien argumentado con un fallo de cuentas conserva la mayoría.
La prueba final de curso incluye todos los criterios ya evaluados: si algo te quedó flojo, ahí lo recuperas; si no, suma como una nota más. Quien no apruebe en mayo tiene examen extraordinario en junio más un trabajo con todos los contenidos.
Matrius i determinants
La herramienta para manejar muchos datos y muchas ecuaciones a la vez.
Una matriz $A=(a_{ij})$ de orden $m\times n$ es una tabla de $m$ filas y $n$ columnas. El elemento $a_{ij}$ está en la fila $i$, columna $j$.
Tipos que debes reconocer
- Cuadrada ($m=n$) · identidad $I$ (unos en la diagonal) · diagonal · triangular.
- Traspuesta $A^{t}$: filas por columnas. Simétrica si $A^{t}=A$; antisimétrica si $A^{t}=-A$.
- Regular si $|A|\neq 0$ (tiene inversa); singular si $|A|=0$.
Producto de matrices
$A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p}$. Solo se puede si las columnas de $A$ coinciden con las filas de $B$.
- $A\cdot B \neq B\cdot A$ en general: el producto no es conmutativo.
- $A\cdot B=0$ no implica $A=0$ ni $B=0$.
- $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ y $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$: el orden se invierte.
Determinantes
- Elige la fila o columna con más ceros.
- Aplica $|A|=\sum_j a_{ij}\,(-1)^{i+j}M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el menor al tachar fila $i$ y columna $j$.
- Los signos siguen el tablero $\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}$.
- Truco: antes de desarrollar, haz ceros sumando a una fila un múltiplo de otra (no cambia el determinante).
Propiedades del determinante
| Propiedad | Consecuencia |
|---|---|
| $|A^{t}|=|A|$ | Puedes trabajar con filas o columnas indistintamente |
| $|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$ | De aquí sale $|A^{-1}|=1/|A|$ |
| Fila de ceros o dos proporcionales | $|A|=0$ |
| Intercambiar dos filas | Cambia el signo |
| Multiplicar una fila por $k$ | El determinante se multiplica por $k$; por eso $|kA|=k^{n}|A|$ |
| Sumar a una fila combinación de otras | $|A|$ no cambia |
Matriz inversa
- Calcula $|A|$. Si vale $0$, no existe inversa y ahí acaba.
- Sustituye cada elemento por su adjunto $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$.
- Traspón la matriz de adjuntos.
- Divide todo entre $|A|$.
- Verifica: $A\cdot A^{-1}$ debe dar $I$.
Rango
El rango $\operatorname{rg}(A)$ es el orden del mayor menor no nulo, o el número de filas linealmente independientes. Por Gauss: filas no nulas tras escalonar.
Ecuaciones matriciales
Multiplica por $A^{-1}$ por el mismo lado en el que aparece $A$:
- $A X = B \Rightarrow X = A^{-1}B$ (por la izquierda)
- $X A = B \Rightarrow X = B A^{-1}$ (por la derecha)
- $A X A = B \Rightarrow X = A^{-1} B A^{-1}$
Una matriz es una rejilla, como una capa de un esquema de WorldEdit. Sirven para transformar construcciones: cuando haces //rotate 90 o //flip, se multiplican las coordenadas de cada bloque por una matriz. Multiplicar dos matrices es encadenar dos transformaciones en una sola —y por eso el orden importa: rotar y luego reflejar no deja la build igual que reflejar y luego rotar.
El determinante te dice si esa transformación aplasta el espacio: si $|A|=0$, tus tres direcciones caen en un plano y te queda una pared en vez de una sala. La inversa es el //undo: solo existe si no destruiste información. Y el rango es cuántas dimensiones reales te quedan: 3 = sala con volumen, 2 = pared, 1 = pasillo de un bloque.
Menú MENU → 4: Matrix. Define MatA y MatB con sus dimensiones e introduce los valores. Después, desde la pantalla de cálculo: OPTN te da det(, Transpose y las matrices guardadas. La inversa se saca con MatA seguido de la tecla x⁻¹.
Úsala para comprobar, nunca como sustituto del desarrollo: el 80% de la nota valora el proceso escrito. Pero en el 10% de competencia tecnológica esto es exactamente lo que se evalúa.
Sistemes d'equacions
Clasificar y resolver sistemas lineales, y discutirlos cuando llevan parámetro.
Un sistema se escribe $A\cdot X=B$, con matriz de coeficientes $A$ y matriz ampliada $A^{*}=(A\mid B)$.
- SCD — compatible determinado: solución única.
- SCI — compatible indeterminado: infinitas soluciones.
- SI — incompatible: ninguna solución.
Con $n$ incógnitas:
- $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=n \;\Rightarrow\;$ SCD
- $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=r<n \;\Rightarrow\;$ SCI, con $n-r$ parámetros libres
- $\operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^{*}) \;\Rightarrow\;$ SI
$A_i$ es $A$ con la columna $i$ sustituida por la columna de términos independientes $B$.
- Calcula $|A|$ dejándolo factorizado en función del parámetro.
- Resuelve $|A|=0$: esos son los valores críticos.
- Para el resto de valores: $|A|\neq 0 \Rightarrow$ rango máximo $\Rightarrow$ SCD (y se puede aplicar Cramer).
- Sustituye cada valor crítico por separado y recalcula $\operatorname{rg}(A)$ y $\operatorname{rg}(A^{*})$.
- Clasifica cada caso y, si lo piden, resuelve el SCI dejando la solución en función de un parámetro.
Siempre son compatibles, porque $X=0$ siempre es solución. Son SCD (solo la trivial) si $|A|\neq 0$, y SCI (infinitas) si $|A|=0$. Nunca pueden ser incompatibles.
Discute el sistema $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+\lambda y+z=2 \\ x+y+\lambda z=1\end{cases}$
$|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)^{2}$, que se anula solo en $\lambda=1$.
Si $\lambda\neq 1$: $|A|\neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=n$ y el sistema es SCD.
Si $\lambda=1$: las tres ecuaciones tienen el mismo primer miembro $x+y+z$ pero términos independientes $1$, $2$ y $1$. Entonces $\operatorname{rg}(A)=1$ y $\operatorname{rg}(A^{*})=2$: son distintos, así que el sistema es SI.
Aplicar Cramer sin comprobar antes que $|A|\neq 0$, o olvidar discutir los valores críticos uno por uno. Cada valor que anula el determinante es un caso aparte y hay que estudiarlo con su propia matriz ampliada.
Piensa en recetas y recursos: quieres acabar con exactamente 64 tablones, 32 palos y 16 antorchas partiendo de ciertos materiales. ¿Cuántas veces ejecutas cada receta? Eso es un sistema. SCD = hay una única combinación que cuadra; SCI = muchas combinaciones sirven (te sobran grados de libertad); SI = imposible con esas recetas, te falta algún material base.
Geométricamente, cada ecuación es un plano: un suelo, una pared, un techo. SCD = los tres se cortan en un único bloque (una esquina); SCI = se cortan en toda una arista o comparten cara; SI = son paralelos y nunca coinciden, como dos suelos a distinta altura.
MENU → 1: Equation resuelve sistemas de 2, 3 y 4 incógnitas numéricos al instante. Si el sistema no tiene solución única, la calculadora avisa con Infinite Solutions o No Solution: úsalo para confirmar tu clasificación.
Ojo: no discute parámetros. Con $\lambda$ dentro tienes que ir a mano; lo que sí puedes es sustituir cada valor crítico y comprobar el caso numérico.
Límits i continuïtat
Acercarse a un valor sin llegar a él, y funciones que se dibujan sin levantar el lápiz.
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ existe si y solo si coinciden los límites laterales: $\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L$.
Las 7 indeterminaciones
- $\tfrac00$ con polinomios: factoriza (Ruffini) y simplifica el factor $(x-a)$.
- $\tfrac00$ con raíces: multiplica y divide por el conjugado.
- $\tfrac{\infty}{\infty}$ de polinomios: compara grados. Si el de arriba es mayor, $\pm\infty$; si es menor, $0$; si son iguales, el cociente de los coeficientes principales.
- $\infty-\infty$: reduce a común denominador o usa el conjugado para convertirlo en cociente.
- $0\cdot\infty$: reescribe como $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ pasando un factor al denominador.
- $1^{\infty}$: usa la fórmula del número $e$ (abajo).
Si el límite da $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$, entonces $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista. Se puede aplicar varias veces seguidas.
Deriva numerador y denominador por separado: no es la derivada de un cociente.
Asíntotas
| Tipo | Condición | Cómo se calcula |
|---|---|---|
| Vertical $x=a$ | $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ | Donde se anula el denominador (y no el numerador) |
| Horizontal $y=L$ | $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ | Límite en el infinito |
| Oblicua $y=mx+n$ | Solo si no hay horizontal | $m=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, $n=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-mx\big)$ |
Continuidad
$f$ es continua en $x=a$ si: (1) existe $f(a)$, (2) existe $\lim\limits_{x\to a}f(x)$, y (3) ambos coinciden.
- Evitable: el límite existe pero no vale $f(a)$ (o $f(a)$ no está definida).
- Salto finito: los laterales existen pero son distintos.
- Salto infinito (asintótica): algún lateral es $\pm\infty$.
Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\cdot f(b)<0$, existe $c\in(a,b)$ con $f(c)=0$. Es la herramienta para demostrar que una ecuación tiene solución.
Weierstrass: continua en un cerrado $[a,b]$ $\Rightarrow$ alcanza máximo y mínimo absolutos.
Darboux: continua en $[a,b]$ $\Rightarrow$ toma todos los valores intermedios entre $f(a)$ y $f(b)$.
Para hacer una cúpula lisa colocas bloques en escalera: cuantos más uses y más pequeños sean, más se parece el escalonado a una curva suave —sin llegar nunca a serlo del todo. Eso es un límite: acercarte tanto como quieras sin tocar el valor.
Una función continua es un camino que recorres sin caerte: sin huecos. Una discontinuidad evitable es un único bloque que falta en el suelo; un salto finito es un escalón de dos bloques; un salto infinito es el borde del vacío. Y Bolzano: si en un punto estás bajo el nivel del mar y en otro por encima, en algún sitio cruzaste Y = 63 sí o sí.
Para intuir un límite, usa MENU → 3: Table y genera valores acercándote al punto (por ejemplo $x = 1{,}9$; $1{,}99$; $1{,}999$) y por el otro lado. Ves hacia dónde tiende sin resolverlo. Para asíntotas horizontales, evalúa con CALC en $x=10^{6}$.
Es una comprobación numérica, no una demostración: en el examen tienes que escribir el límite resuelto.
Derivades
La pendiente en cada punto: la unidad más rentable de toda la asignatura.
$f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente en $x=a$. La tangente es $y-f(a)=f'(a)(x-a)$, y la normal (perpendicular) tiene pendiente $-1/f'(a)$.
$f$ es derivable en $a$ si las derivadas laterales existen y coinciden. Toda función derivable es continua, pero no al revés: $f(x)=|x|$ es continua en $0$ y no derivable (pico).
Tabla de derivadas
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|---|
| $x^{n}$ | $n\,x^{n-1}$ | $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}$ | $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x$ |
| $a^{x}$ | $a^{x}\ln a$ | $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ | $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ |
Si hay variable en la base y en el exponente, toma logaritmos: de $y=f(x)^{g(x)}$ pasa a $\ln y=g(x)\ln f(x)$, deriva los dos lados y despeja $y'$ (recuerda multiplicar al final por $y$).
Aplicaciones
- $f'(x)>0 \Rightarrow$ creciente; $f'(x)<0 \Rightarrow$ decreciente.
- Extremos relativos: candidatos donde $f'(x)=0$. Máximo si $f'$ pasa de $+$ a $-$; mínimo si pasa de $-$ a $+$.
- Criterio de la segunda derivada: si $f'(a)=0$ y $f''(a)>0$ hay mínimo; si $f''(a)<0$, máximo.
Rolle: $f$ continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow$ existe $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$.
Lagrange: con las mismas hipótesis salvo la igualdad, existe $c$ con $\;f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
- Nombra las variables y escribe la función a optimizar.
- Usa la condición del enunciado (la ligadura) para dejarla con una sola variable.
- Indica el dominio con sentido físico (longitudes positivas, etc.).
- Deriva, resuelve $f'(x)=0$.
- Justifica que es máximo o mínimo (signo de $f'$ o valor de $f''$). Este paso es el que suelen olvidar.
- Responde a la pregunta concreta, con unidades.
La derivada es la pendiente del terreno: cuántos bloques subes por cada bloque que avanzas. Una llanura tiene $f'=0$; una cuesta suave, $f'$ pequeña; un acantilado, $f'$ enorme. La recta tangente es la rampa que roza la ladera justo en ese bloque.
Buscar extremos es localizar el pico más alto o el valle más hondo: justo donde el terreno se pone plano. Y la optimización es min-maxing puro: "con 100 bloques de valla, ¿qué dimensiones dan la granja más grande?" — máximo espacio con mínimos recursos. La respuesta, por cierto, siempre tiende al cuadrado.
La tecla d/dx calcula la derivada en un punto concreto: escribe la función, el valor de $x$, y te da $f'(a)$ numérico. Perfecto para verificar la pendiente de una tangente o comprobar que tu $f'(x)$ da lo mismo que la máquina en un par de valores.
No te da la expresión simbólica de $f'(x)$: eso lo escribes tú.
Representació de funcions
Reunir todo lo anterior para dibujar una gráfica justificada.
- Dominio: quita lo que anula denominadores, negativos dentro de raíces pares y argumentos $\le 0$ en logaritmos.
- Simetría: $f(-x)=f(x)$ es par (simétrica respecto al eje Y); $f(-x)=-f(x)$ es impar (respecto al origen).
- Cortes: con el eje X resolviendo $f(x)=0$; con el eje Y calculando $f(0)$.
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas (recuerda: horizontal y oblicua son excluyentes).
- Monotonía y extremos con el signo de $f'$.
- Curvatura e inflexiones con el signo de $f''$.
- Gráfica reuniendo todo, con los puntos notables etiquetados.
Punto de inflexión: donde $f''=0$ y cambia de signo. Que $f''(a)=0$ por sí solo no basta.
Coloca en una recta los puntos críticos y los no incluidos en el dominio, y estudia el signo de $f'$ (y de $f''$) en cada intervalo. Con esa tabla, la gráfica sale prácticamente sola y además dejas por escrito la justificación que vale nota.
- Buscar asíntota oblicua cuando ya hay horizontal: son incompatibles en la misma rama.
- Olvidar que los puntos fuera del dominio también separan intervalos en la tabla de signos.
- Dibujar la curva cortando una asíntota vertical: imposible, ahí la función no existe.
Es hacer ingeniería inversa de un bioma. Con los datos del terreno —dónde existe suelo (dominio), si es simétrico respecto a un eje, dónde cruza el nivel del mar (cortes), dónde sube y baja (monotonía) y cómo se curva (concavidad)— puedes dibujar el perfil completo de la montaña sin colocar un bloque a mano.
Las asíntotas son bedrock y build limit: bordes que el terreno se acerca pero nunca atraviesa. El punto de inflexión es donde la ladera deja de curvarse hacia dentro y empieza a curvarse hacia fuera: el cambio de cóncavo a convexo de una duna.
MENU → 3: Table con tu $f(x)$: elige inicio, fin y paso, y obtienes una tabla de valores para situar la forma general antes de dibujar. También puedes meter $f'(x)$ como segunda función (f(x)/g(x)) y ver dónde cambia de signo.
Integrals
Deshacer la derivada y, con ello, medir áreas y volúmenes.
$\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$, donde $F'(x)=f(x)$. La constante $C$ representa todas las primitivas posibles: no la olvides nunca en la indefinida.
Integrales inmediatas
| Integral | Resultado | Integral | Resultado |
|---|---|---|---|
| $\displaystyle\int x^{n}dx$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\neq -1)$ | $\displaystyle\int \sin x\,dx$ | $-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\int \frac{1}{x}dx$ | $\ln|x|+C$ | $\displaystyle\int \cos x\,dx$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle\int e^{x}dx$ | $e^{x}+C$ | $\displaystyle\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx$ | $\tan x+C$ |
| $\displaystyle\int a^{x}dx$ | $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ | $\displaystyle\int \frac{1}{1+x^{2}}dx$ | $\arctan x+C$ |
| $\displaystyle\int \frac{f'}{f}dx$ | $\ln|f|+C$ | $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ | $\arcsin x+C$ |
Elige como $u$ lo primero que aparezca en esta lista: Arcos · Logaritmos · Potencias · Exponenciales · Senos y cosenos. El resto es $dv$.
- Busca una parte $t=g(x)$ cuya derivada aparezca (salvo constantes) multiplicando.
- Calcula $dt=g'(x)dx$ y sustituye todo: no puede quedar ninguna $x$.
- Integra respecto a $t$.
- Deshaz el cambio volviendo a $x$ (en la indefinida). En la definida, puedes cambiar también los límites y ahorrarte ese paso.
- Si $\operatorname{grado}(\text{num}) \ge \operatorname{grado}(\text{den})$, divide primero.
- Factoriza el denominador (Ruffini).
- Descompón en fracciones simples con coeficientes $A$, $B$, $C$… e identifica.
- Integra cada trozo: salen logaritmos y a veces arcotangentes.
Integral definida
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, con $F$ primitiva de $f$. Aquí no se escribe la constante: se cancela.
Si $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt$, entonces $F'(x)=f(x)$. Derivar e integrar son operaciones inversas.
Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, hay que partir la integral en los puntos de corte y sumar cada trozo en valor absoluto. Integrar de un tirón puede darte un área artificialmente pequeña o incluso negativa —y un área nunca es negativa.
Área encerrada entre $f(x)=x^{2}$ y $g(x)=x$.
Cortes: $x^{2}=x \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,\;x=1$. En $(0,1)$ se cumple $g\ge f$, luego:
$A=\displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ unidades cuadradas.
Integrar es contar bloques. El área bajo una curva son los bloques que necesitas para rellenar bajo un tejado curvo; el área entre dos curvas, los del hueco entre dos tejados superpuestos.
El volumen de revolución es literalmente lo que haces al construir una torre redonda: coges el perfil de la silueta, lo giras 360° y cuentas los bloques del sólido resultante. Si alguna vez has estimado el material para un alminar cilíndrico antes de empezar a colocarlo, ya estabas integrando.
Y la relación derivada–integral: si conoces la pendiente del terreno en cada punto, la integral te reconstruye la forma completa de la ladera.
La tecla ∫dx calcula integrales definidas numéricamente: metes la función y los límites $a$ y $b$, y te da el valor. Ideal para comprobar un área antes de darla por buena.
Cuidado: da el valor con signo. Si la función cambia de signo en el intervalo, el número no es el área —tienes que partirla tú igualmente.
Vectors en l'espai
Coordenadas, los tres productos y lo que mide cada uno.
Un vector $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ en $\mathbb{R}^{3}$. El vector que va de $A$ a $B$ es $\overrightarrow{AB}=B-A$: siempre extremo menos origen.
Los tres productos
Su módulo $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha$ es el área del paralelogramo que forman.
| Necesito… | Uso |
|---|---|
| Ángulo entre dos elementos | Producto escalar |
| Un vector perpendicular a otros dos | Producto vectorial |
| Comprobar perpendicularidad | Escalar $=0$ |
| Comprobar si son paralelos | Vectorial $=\vec{0}$ (o coordenadas proporcionales) |
| Área de un triángulo | $\frac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|$ |
| Volumen de un tetraedro | $\frac{1}{6}\big|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\big|$ |
| Saber si 4 puntos son coplanarios | Mixto $=0$ |
Dos vectores son dependientes (paralelos) si son proporcionales. Tres son independientes —y forman base de $\mathbb{R}^3$— si el determinante de sus coordenadas es $\neq 0$.
El juego es literalmente una rejilla de coordenadas: X este–oeste, Y altura, Z norte–sur. Un vector es el desplazamiento entre dos bloques: "+5 al este, +3 arriba, −2 al norte". $\overrightarrow{AB}$ es exactamente lo que te tendrías que mover para ir de $A$ a $B$, y $|\overrightarrow{AB}|$ es la distancia en línea recta —como vuela un ghast, no como caminas.
Escalar: el ángulo entre dos direcciones; si da 0, se cruzan en ángulo recto (paredes alineadas a la rejilla). Vectorial: la dirección que sale perpendicular de una pared, sabiendo sus dos aristas —y su módulo es el área de esa pared en bloques. Mixto: el volumen en bloques de una sala; si da 0, tus tres aristas son planas y no hay sala que construir.
MENU → 5: Vector. Define VctA, VctB, VctC con dimensión 3. Desde OPTN tienes Dot Product (escalar), el producto vectorial con el símbolo × entre dos vectores, y Abs para el módulo. El mixto sale como VctA · (VctB × VctC).
Esta es de las funciones más rentables de la calculadora: te resuelve áreas y volúmenes en segundos para comprobar.
Geometria de l'espai
Rectas y planos: ecuaciones, posiciones relativas, ángulos y distancias.
La recta
Determinada por un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ y un vector director $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$.
Vectorial: $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(v_1,v_2,v_3)$
Paramétricas: $\begin{cases}x=x_0+tv_1\\ y=y_0+tv_2\\ z=z_0+tv_3\end{cases}$
Continua: $\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}$
Si te dan dos puntos, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$. Si te la dan como intersección de dos planos, $\vec{v}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}$.
El plano
General: $Ax+By+Cz+D=0$, con vector normal $\vec{n}=(A,B,C)$ leído directamente en los coeficientes.
Punto–normal: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Paramétrica: $(x,y,z)=P+s\vec{u}+t\vec{v}$. Si tienes dos directores, $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$.
Posiciones relativas
- ¿Son $\vec{u}$ y $\vec{v}$ proporcionales? Sí → coincidentes o paralelas (comprueba si un punto de una está en la otra).
- No proporcionales → calcula el mixto $[\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{PQ}]$.
- Si el mixto es $0$ → se cortan (son coplanarias).
- Si el mixto es $\neq 0$ → se cruzan (no hay plano que las contenga).
Recta y plano: si $\vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0$ se cortan en un punto; si $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$ es paralela (o está contenida, si un punto suyo cumple la ecuación del plano).
Dos planos: normales proporcionales → paralelos o coincidentes; si no, se cortan en una recta.
Ángulos
- Recta–plano va con seno, no coseno: mides respecto a la normal y completas a $90^\circ$.
- El valor absoluto del numerador no es opcional: sin él puedes obtener el ángulo obtuso.
Distancias
Entre planos paralelos, entre recta y plano paralelos o entre rectas paralelas: coge un punto cualquiera de uno de los dos elementos y aplica la fórmula punto–plano o punto–recta correspondiente. Nunca hace falta una fórmula nueva.
Una recta es un trazado recto: un raíl de vagoneta, una fila de vallas o el haz de un faro subiendo. "Punto + director" significa "empieza en este bloque y tira en esta dirección". Un plano es una superficie plana: un suelo, una pared, o el nivel del mar (Y ≈ 63 es un plano horizontal gigantesco); su normal indica hacia dónde mira.
Las posiciones relativas son la pregunta práctica de cualquier build: ¿estos dos raíles se cortan, van paralelos, o uno pasa elevado sobre el otro sin tocarlo nunca? Ese último caso —se cruzan— es el raíl a distinta altura y en otra dirección. Y las distancias: a qué altura flota un bloque sobre el suelo (punto–plano), lo más cerca que pasa un bloque de un raíl (punto–recta), o el hueco mínimo entre dos raíles cruzados.
Todo este bloque se apoya en el menú Vector: mete los vectores, saca módulos, escalares y vectoriales, y aplica tú la fórmula. Para la distancia punto–plano, el denominador $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ es simplemente Abs del vector normal.
Probabilitat
Sucesos, condicionada, probabilidad total y Bayes.
Operaciones con sucesos
Si $A$ y $B$ son incompatibles ($A\cap B=\varnothing$), entonces $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Leyes de De Morgan: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ y $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. Muy útiles cuando el enunciado dice "ninguno" o "al menos uno".
$A$ y $B$ son independientes si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, o equivalentemente $P(A\mid B)=P(A)$: saber que ocurrió $B$ no cambia la probabilidad de $A$.
Son conceptos distintos y casi opuestos. Incompatibles significa que no pueden pasar a la vez ($A\cap B=\varnothing$). Independientes significa que uno no informa sobre el otro. De hecho, si $P(A)>0$ y $P(B)>0$ y son incompatibles, nunca son independientes: saber que ocurrió $B$ te dice con certeza que $A$ no ocurrió.
- Primer nivel: las causas $A_1,A_2,\dots$ (sus probabilidades deben sumar 1).
- Segundo nivel: el suceso $B$ condicionado a cada causa.
- Cada rama completa se multiplica: $P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$.
- Probabilidad total = suma de todas las ramas que terminan en $B$.
- Bayes = una rama concreta dividida entre esa suma total.
Dos máquinas fabrican piezas: $A_1$ produce el $60\%$ (un $3\%$ defectuosas) y $A_2$ el $40\%$ (un $5\%$ defectuosas). Sale una pieza defectuosa: ¿probabilidad de que la haya hecho $A_1$?
Total: $P(D)=0{,}6\cdot 0{,}03+0{,}4\cdot 0{,}05=0{,}018+0{,}020=0{,}038$.
Bayes: $P(A_1\mid D)=\dfrac{0{,}018}{0{,}038}\approx 0{,}474$.
Fíjate en el giro: $A_1$ fabrica más piezas, pero como es más fiable, ante un defecto es menos probable que venga de ella.
Combinatoria de apoyo
| Concepto | Fórmula | ¿Importa el orden? |
|---|---|---|
| Permutaciones | $P_n=n!$ | Sí, y se usan todos |
| Variaciones | $V_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ | Sí |
| Combinaciones | $C_{n,k}=\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ | No |
Esto es todo el RNG del juego. La regla de Laplace son los slots de loot de un cofre. La condicionada es el saqueo con contexto: "sé que este cofre es de mazmorra, ¿ahora qué probabilidad hay de que tenga un disco?". La independencia es que matar un creeper no cambia nada sobre el siguiente: el juego no te debe nada por haber fallado antes.
Bayes es la pregunta al revés, y es la más útil: "me ha caído un objeto raro — ¿de qué mob o estructura venía con más probabilidad?". Igual que deducir en qué bioma estás a partir de los mobs que aparecen: observas el efecto y estimas la causa.
Para combinatoria: OPTN te da nCr y nPr, y la tecla x! el factorial. Escribe por ejemplo 10 nCr 3 y obtienes $\binom{10}{3}=120$ al instante.
En Bayes no hay atajo: el valor está en dibujar bien el árbol. La calculadora solo acelera las cuentas.
Distribucions de probabilitat
Binomial y normal: las dos distribuciones que hay que dominar.
Distribución binomial B(n, p)
Cuando repites $n$ veces un experimento independiente con solo dos resultados (éxito / fracaso) y probabilidad de éxito $p$ constante. La variable $X$ cuenta el número de éxitos.
- "Al menos uno": $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$.
- "Como mucho k": $P(X\le k)=P(0)+P(1)+\dots+P(k)$.
- "Más de k": $P(X>k)=1-P(X\le k)$.
Se lanza una moneda 5 veces. ¿Probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
$X\sim B(5;\,0{,}5)$, luego $P(X=3)=\dbinom{5}{3}(0{,}5)^{3}(0{,}5)^{2}=10\cdot 0{,}03125=0{,}3125$.
Distribución normal N(μ, σ)
Variable continua, campana de Gauss simétrica respecto a la media $\mu$. Como es continua, $P(X=k)=0$ siempre: solo tienen sentido las probabilidades de intervalos. La $N(0,1)$ es la normal estándar, con variable $Z$.
- Tipifica: $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$.
- $P(Z\le z)$ se lee directamente en la tabla.
- $P(Z\ge z)=1-P(Z\le z)$.
- Para $z$ negativo, por simetría: $P(Z\le -z)=1-P(Z\le z)$.
- Intervalo: $P(a\le Z\le b)=P(Z\le b)-P(Z\le a)$.
Si $n$ es grande y se cumple $np>5$ y $nq>5$, entonces $B(n,p)\approx N\big(np,\;\sqrt{npq}\big)$.
Al pasar de discreta a continua hay que ajustar medio punto:
- $P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le X\le k+0{,}5)$
- $P(X\le k)\approx P(X\le k+0{,}5)$
- $P(X\ge k)\approx P(X\ge k-0{,}5)$
En cualquier normal, el $68\%$ de los datos cae en $\mu\pm\sigma$, el $95\%$ en $\mu\pm 2\sigma$ y el $99{,}7\%$ en $\mu\pm 3\sigma$. Sirve para detectar resultados absurdos de un vistazo: si te sale una probabilidad del $0{,}4$ para algo a tres desviaciones, has fallado algo.
La binomial es picar: "excavo 20 bloques a nivel de diamante; cada uno tiene probabilidad $p$ de ser mena". La media $\mu=np$ es exactamente cuántos diamantes esperas —y la desviación $\sigma$ te dice cuánto puede desviarse tu suerte real de esa expectativa.
La normal aparece cuando sumas muchísimo RNG: las alturas del terreno en un chunk grande, el daño total tras cientos de golpes, o el loot acumulado de miles de cofres. Todo se agrupa alrededor de la media formando la campana. Por eso, con $n$ enorme, la binomial se puede aproximar por una normal: es la diferencia entre calcular la probabilidad exacta de 7 diamantes en 20 bloques y estimar cuántos sacarás tras minar toda una sesión.
MENU → 7: Distribution lo hace casi todo:
- Binomial PD → $P(X=k)$ · Binomial CD → $P(X\le k)$
- Normal PD / CD → densidad y probabilidad acumulada, introduciendo $\mu$ y $\sigma$ directamente (¡sin tipificar a mano!)
- Inverse Normal → el camino inverso: dada una probabilidad, te devuelve el valor de $x$
Es la unidad donde la calculadora más te ahorra. Aun así, en el examen escrito conviene mostrar la tipificación: el 80% valora el proceso.
Calculadoras interactivas
Introduce tus datos y comprueba el resultado al instante. Úsalas para verificar ejercicios, no para sustituir el procedimiento escrito.
Matriz 3×3 — determinante, rango e inversa
Calcula $|A|$, clasifica la matriz y obtiene la inversa si existe.
Sistema 3×3 — clasificación por Rouché–Frobenius
Introduce los coeficientes y los términos independientes. Te dice si es SCD, SCI o SI, con los rangos, y resuelve por Cramer si procede.
Vectores en el espacio — todos los productos
Módulos, producto escalar, vectorial y mixto, ángulo, área del triángulo y volumen del tetraedro.
Distancia punto → plano
Plano $Ax+By+Cz+D=0$ y punto $P(x_0,y_0,z_0)$.
Distribución binomial B(n, p)
Probabilidad puntual, acumulada, media y desviación típica.
Distribución normal N(μ, σ)
Tipifica y calcula probabilidades acumuladas sin necesidad de la tabla.
Tarjetas de fórmulas
Toca la tarjeta para girarla. Repasa las fórmulas clave de las 10 unidades antes de un examen.
Guía de la Casio CLASSWIZ fx-991
Es obligatoria en clase y en los exámenes, y hay un 10% de la nota que se juega precisamente en la prueba global de herramientas tecnológicas.
| Menú | Para qué | Unidad |
|---|---|---|
| 1 · Equation | Sistemas de 2–4 incógnitas y raíces de polinomios | U2 |
| 3 · Table | Tablas de valores: intuir límites y perfilar gráficas | U3, U5 |
| 4 · Matrix | Determinante, inversa y producto de matrices | U1 |
| 5 · Vector | Escalar, vectorial, módulo → áreas y volúmenes | U7, U8 |
| 6 · Statistics | Medias, desviaciones y regresión | U9, U10 |
| 7 · Distribution | Binomial y normal (PD, CD e inversa) | U10 |
Teclas d/dx e ∫dx | Derivada en un punto e integral definida | U4, U6 |
Trucos que ahorran minutos en el examen
CALCevalúa una expresión con distintos valores sin reescribirla: perfecto para comprobar que un punto pertenece a una recta o plano.SOLVEresuelve numéricamente una ecuación cualquiera. Útil para localizar cortes con los ejes.OPTNcambia de contenido según el menú: ahí están nCr, nPr, det, Abs, Dot Product…S⇔Dalterna entre fracción exacta y decimal. Entrega siempre el resultado exacto cuando lo tengas.- Antes de empezar un examen, comprueba el modo angular (
SHIFT MENU): si trabajas con radianes y está en grados, todos los ángulos saldrán mal.
En clase no se permiten aparatos electrónicos salvo la calculadora, excepto si el profesor lo autoriza por motivos didácticos. En los exámenes, cada alumno usa su propio material. Copiar en un examen o tarea supone un cero en esa actividad y posible sanción —y facilitar la copia a otro compañero se sanciona igual.
Tabla de la normal N(0,1)
Valores de $P(Z\le z)$ para $z$ de 0,00 a 3,49. Para valores negativos usa $P(Z\le -z)=1-P(Z\le z)$.
Estrategia de examen
Cómo convertir lo que sabes en la nota que mereces, según los criterios de tu departamento.
- Lee todo primero y empieza por el ejercicio que mejor domines: asegura puntos antes de arriesgar.
- Escribe el planteamiento aunque no termines. Un problema bien planteado y sin acabar puntúa; un resultado suelto sin proceso, apenas.
- Justifica cada paso. El criterio pide demostrar la validez de la solución con razonamiento y argumentación: nombra el teorema que aplicas (Rouché, Bolzano, Barrow…).
- Da todas las soluciones. Si hay varios casos, discútelos todos: el criterio menciona explícitamente "obtener todas las soluciones".
- Comprueba con la calculadora lo que puedas: determinantes, integrales definidas, sistemas numéricos.
- Responde a la pregunta con una frase final y sus unidades. Cierra el problema, no lo dejes en un número suelto.
Un 5% es organización y rigor en el lenguaje matemático: usar bien los símbolos $\Rightarrow$, $\iff$, $\in$, escribir con orden y no mezclar pasos. Otro 5% es actitud, entrega de tareas y constancia —es la parte más fácil de asegurar del curso entero, y solo depende de ser regular—. Y el 10% restante es la prueba global de herramientas tecnológicas: practica con la Casio durante el curso, no la víspera.
- La prueba final de curso incluye todos los criterios ya evaluados en pruebas escritas.
- Si la media de las pruebas anteriores no permite aprobar algún criterio, esa nota hace de recuperación.
- Si ya ibas aprobado, suma como una nota más a la media.
- Quien no apruebe en mayo tiene examen extraordinario en junio más un trabajo con todos los contenidos del curso.
- Si faltas a un examen con el protocolo seguido, se acuerda nueva fecha. Sin justificar, se valora con un cero.
Un curso es una partida en supervivencia: no se gana con una gran gesta al final, sino no muriendo por tonterías. Las tareas y la actitud son la comida en el inventario, la calculadora es tu pico encantado, y la prueba final es el Ender Dragon: llegas con lo que hayas construido durante meses, no con lo que improvises esa noche.